대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

거듭제곱 일의 자리 수열

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}을 an=(nna _{n} = ( n ^{n}의 일의 자리의 수))로 정의할 때, 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ.\text{ㄱ} . a3=7a _{3} = 7 ㄴ.\text{ㄴ} . ∑k=15a2k=22\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} a _{2 k} = 22 ㄷ.\text{ㄷ} . a13=a23a _{13} = a _{23}

①ㄱ\text{ㄱ}②ㄴ\text{ㄴ}③ㄷ\text{ㄷ}④ㄱ,ㄴ\text{ㄱ} , \text{ㄴ}⑤ㄴ,ㄷ\text{ㄴ} , \text{ㄷ}

정답 보기
④

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해설

ㄱ. 33=273 ^{3} = 27이므로 a3=7a _{3} = 7(참) ㄴ.∑k=15a2k=a2+a4+a6+a8+a10\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} a _{2 k} = a _{2} + a _{4} + a _{6} + a _{8} + a _{10} =4+6+6+6+0=22= 4 + 6 + 6 + 6 + 0 = 22(참) ㄷ. 1313=(10+3)1313 ^{13} = ( 10 + 3 ) ^{13}이므로 131313 ^{13}의 일의 자리수와 3133 ^{13}의 일의 자리수는 서로 같고, 31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,⋯3 ^{1} = 3 , 3 ^{2} = 9 , 3 ^{3} = 27 , 3 ^{4} = 81 , 3 ^{5} = 243 , \cdots이므로 3n3 ^{n}의 일의 자리수는 3,9,7,1,3,⋯3 , 9 , 7 , 1 , 3 , \cdots으로 반복되어 131313 ^{13}의 일의 자리수는 33이다. 이와 같은 방법으로 232323 ^{23}의 일의 자리수는 77이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

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