대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

거듭제곱 곱의 집합

문제

$2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 집합 $\left\{ 3 ^{2 k - 1} | k \text{는} \text{자연수} , 1 \leq k \leq n \right\}$ 의 서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 모든 값만을 원소로 하는 집합을 $S$ 라 하고, $S$ 의 원소의 개수를 $f \left( n \right)$ 이라 하자. 예를 들어, $f \left( 4 \right) = 5$ 이다. 이때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{11} f \left( n \right)$ 의 값을 구하시오. [4점]

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100

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해설

$n = 2$ 일 때, $\left\{ 3 , 3 ^{3} \right\}$ 이므로 $S = \left\{ 3 ^{4} \right\}$ 즉, $f \left( 2 \right) = 1$ $n = 3$ 일 때, $\left\{ 3 , 3 ^{3} , 3 ^{5} \right\}$ 이므로 $S = \left\{ 3 ^{4} , 3 ^{6} , 3 ^{8} \right\}$ 즉, $f \left( 3 \right) = 3$ $n = 4$ 일 때 $\left\{ 3 , 3 ^{3} , 3 ^{5} , 3 ^{7} \right\}$ 이므로 $S = \left\{ 3 ^{4} , 3 ^{6} , 3 ^{8} , 3 ^{10} , 3 ^{12} \right\}$ 즉, $f \left( 4 \right) = 5$ $\cdots \cdots$ $n = k$ 일 때, $\left\{ 3 , 3 ^{3} , \cdots , 3 ^{2 k - 1} \right\}$ 이므로 $S = \left\{ 3 ^{4} , 3 ^{6} , \cdots , 3 ^{4 \left( k - 1 \right)} \right\}$ 즉, $f \left( k \right) = 2 k - 3$ $\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 2} ^{11} f \left( n \right) = \sum\limits _{n = 2} ^{11} \left( 2 n - 3 \right)$ $= 1 + 3 + 5 + \cdots + 19$ $= 10 ^{2} = 100$

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