거듭제곱 그래프 반복

그림과 같이 좌표평면에 두 함수 $f ( x ) = x ^{2}$, $g ( x ) = x ^{3}$의 그래프가 있다. 곡선 $y = f ( x )$ 위의 한 점 $\mathrm{P} _{1} \mathit{(} a , f ( a ) )$ ($a > 1$) 에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q} _{1}$이라 하자. 선분 $\mathrm{OQ} _{1}$을 한 변으로 하는 정사각형 $\mathrm{OQ} _{1} AB$의 한 변 $\mathrm{AB}$가 곡선 $y = g ( x )$와 만나는 점을 $\mathrm{P} _{2}$, 점 $\mathrm{P} _{2}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q} _{2}$라 하자. 선분 $\mathrm{OQ} _{2}$를 한 변으로 하는 정사각형 $\mathrm{OQ} _{2} CD$의 한 변 $\mathrm{CD}$가 곡선 $y = f ( x )$와 만나는 점을 $\mathrm{P} _{3}$, 점 $\mathrm{P} _{3}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q} _{3}$이라 하자. 두 점 $\mathrm{Q} _{2}$, $\mathrm{Q} _{3}$의 $x$좌표를 각각 $b$, $c$라 할 때, $bc = 2$가 되도록 하는 점 $\mathrm{P} _{1}$의 $y$좌표의 값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이고, 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$는 제$1$사분면에 있다.) [4점]

①$8$②$10$③$12$④$14$⑤$16$