거듭제곱 방정식 중근

[출제의도] $a$의 $n$제곱근의 의미를 이해하고 있는가? 함수 $f ( x )$는 최고차항의 계수가 $1$이고 최솟값이 음수이므로 방정식 $f ( x ) = 0$은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (ⅰ) $n$이 홀수일 때, 방정식 $x ^{n} = 64$의 실근의 개수는 $1$이다. 그러므로 방정식 $\left( x ^{n} - 64 \right) f ( x ) = 0$의 근이 모두 중근일 수는 없다. (ⅱ) $n$이 짝수일 때, 방정식 $x ^{n} = 64$의 실근은 $\displaystyle x = \sqrt[n]{64}$ 또는 $\displaystyle x = - \sqrt[n]{64}$ 즉, $\displaystyle x = 2 ^{\frac{6}{n}}$ 또는 $\displaystyle x = - 2 ^{\frac{6}{n}}$ 이때, 조건 (가)를 만족하기 위해서는 $\displaystyle f ( x ) = \left( x - 2 ^{\frac{6}{n}} \right) \left( x + 2 ^{\frac{6}{n}} \right)$ $\cdots \cdots$ ㉠ 한편, 조건 (나)에서 함수 $f ( x )$의 최솟값은 음의 정수이다. ㉠에서 함수 $f ( x )$는 $x = 0$에서 최솟값을 갖고 그 값은 $\displaystyle - 2 ^{\frac{6}{n}} \times 2 ^{\frac{6}{n}} = - 2 ^{\frac{12}{n}}$ 이 값이 음의 정수이기 위해서는 $n$의 값은 $2 , 4 , 6 , 12$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 $n$의 값의 합은 $2 + 4 + 6 + 12 = 24$