미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

가우스 합성함수 불연속

문제

함수 $f ( x ) = x - [ x ]$ 와 $\{ x | 1 \leq x \leq 4 \}$ 에서 정의된 세 함수 $g _{1} ( x ) = x$ , $g _{2} ( x ) = x ^{2}$ , $g _{3} ( x ) = \log ( 1 + x ^{2} )$ 이 있다. 합성함수 $y = f ( g _{i} ( x ) )$ $( i = 1 , 2 , 3 )$ 의 불연속점의 개수를 $a _{i}$ 라 할 때, $a _{1}$ , $a _{2}$ , $a _{3}$ 의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? (단, $[ x ]$ 는 $x$ 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점] ① $a _{1} < a _{2} < a _{3}$ ② $a _{1} < a _{3} < a _{2}$ ③ $a _{2} < a _{1} < a _{3}$ ④ $a _{3} < a _{2} < a _{1}$ ⑤ $a _{3} < a _{1} < a _{2}$

정답 보기

⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

(ⅰ) $y = f ( g _{1} ( x ) ) = x - [ x ] ( 1 \leq x \leq 4 )$ 의 그래프는 다음과 같다.

불연속점은 $x = 2$ , $3$ , $4$ 의 $3$ 개이므로 $a _{1} = 3$ (ⅱ) $y = f ( g _{2} ( x ) ) = x ^{2} - [ x ^{2} ] ( 1 \leq x \leq 4 )$ $1 \leq x ^{2} < 2$ , 즉 $\displaystyle 1 \leq x < \sqrt{2}$ 일 때 $y = x ^{2} - 1$ $2 \leq x ^{2} < 3$ , 즉 $\displaystyle \sqrt{2} \leq x < \sqrt{3}$ 일 때 $y = x ^{2} - 2$ $3 \leq x ^{2} < 4$ , 즉 $\displaystyle \sqrt{3} \leq x < 2$ 일 때 $y = x ^{2} - 3$ ⋮ $15 \leq x ^{2} < 16$ , 즉 $\displaystyle \sqrt{15} \leq x < 4$ 일 때 $y = x ^{2} - 15$ $x ^{2} = 16$ , 즉 $x = 4$ 일 때 $y = 16 - 16 = 0$ 따라서, 그래프는 다음 그림과 같다.

불연속점은 $\displaystyle x = \sqrt{2}$ , $\displaystyle \sqrt{3}$ , …, $\displaystyle \sqrt{16}$ 의 $15$ 개이므로 $a _{2} = 15$ (ⅲ) $y = f ( g _{3} ( x ) )$ $= \log ( x ^{2} + 1 ) - [ \log ( x ^{2} + 1 ) ] ( 1 \leq x \leq 4 )$ $0 \leq \log ( x ^{2} + 1 ) < 1$ 에서 $0 \leq x ^{2} < 9$ 이므로 $1 \leq x < 3$ 일 때 $y = \log ( x ^{2} + 1 )$ $1 \leq \log ( x ^{2} + 1 ) < 2$ 에서 $9 \leq x ^{2} < 99$ 이므로 $3 \leq x \leq 4$ 일 때 $\displaystyle y = \log ( x ^{2} + 1 ) - 1 = \log \frac{x ^{2} + 1}{10}$ 따라서, 그래프는 다음 그림과 같다.

불연속점은 $x = 3$ 의 $1$ 개이므로 $a _{3} = 1$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $a _{3} < a _{1} < a _{2}$

← 전체 문제 목록으로

가우스 합성함수 불연속

문제

자료 내려받기

해설

태그

비슷한 문제 더 보기