미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

가우스 기호 연속 미분

문제

함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [x]\left[ x \right]는 xx보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. lim⁡x→2[xf(x)]=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \sqrt{2}} {[ xf ( x ) ] = 1} ㄴ. 함수 [xf(x)][ xf ( x ) ]는 x=2\displaystyle x = \sqrt{2}에서 연속이다. ㄷ. 함수 (x−2)[xf(x)]\displaystyle \left( x - \sqrt{2} \right) [ xf ( x ) ]는 x=2\displaystyle x = \sqrt{2}에서 미분가능하다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 함수의 연속성과 미분가능성에 대한 성질 추론하기 ㄱ.lim⁡x→2[xf(x)]=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \sqrt{2}} {[ x f ( x ) ] = 1} (참) ㄴ. g(x)=[xf(x)]g ( x ) = [ x f ( x ) ]라 하면, g(2)=0\displaystyle g ( \sqrt{2} ) = 0, lim⁡x→2g(x)=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \sqrt{2}} {g ( x ) = 1} 이므로 [xf(x)][ xf ( x ) ]는 x=2\displaystyle x = \sqrt{2}에서 불연속이다. (거짓) ㄷ. lim⁡x→2(x−2)[xf(x)]−0x−2=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \sqrt{2}} {\frac{( x - \sqrt{2} ) [ xf ( x ) ] - 0}{x - \sqrt{2}}} = 1 (참)

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