대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

가우스 기호 수열의 서로 다른 값의 개수

문제

an=[n2104]\displaystyle a _{n} = \left[ \frac{n ^{2}}{104} \right]일 때, a1,a2,a3,⋯ ,a103a _{1} , a _{2} , a _{3} , \cdots , a _{103} 중에서 서로 다른 값의 개수는? (단, [x][ x ]는 xx를 넘지 않은 최대정수이다.)

①7070②7272③7474④7676⑤7878

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⑤

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해설

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 연속하는 두 항의 값이 서로 다르기 위한 조건은 an+1≥an+1a _{n+1} \geq a _{n} + 1 즉, bn=n2104\displaystyle b _{n} = \frac{n ^{2}}{104}라고 하면 bn+1≥bn+1⋯b _{n+1} \geq b _{n} + 1 \cdots(1) 여기서 bn+1−bn=(n+1)2−n2104=2n+1104\displaystyle b _{n+1} - b _{n} = \frac{( n + 1 ) ^{2} - n ^{2}}{104} = \frac{2 n + 1}{104} 이므로 조건 (1)에 의해 2n+1≥1042 n + 1 \geq 104 ∴n≥52\therefore n \geq 52 1) n≤52n \leq 52인 경우 : a52=[522104]=26\displaystyle a _{52} = \left[ \frac{52 ^{2}}{104} \right] = 26이므로 00부터 2626까지 2727개의 값을 갖는다. 2) n>52n > 52인 경우 : 모든 항이 다른 값을 가지므로 5151개의 값이 나온다. 따라서 가질 수 있는 값은 27+51=7827 + 51 = 78(가지)

태그

#가우스 기호#경우의 수

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