대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

가우스 기호 조건을 만족하는 수열의 합

문제

자연수 nn에 대하여 두 조건 [xn]=2,\displaystyle \left[ \frac{x}{n} \right] = 2 , [xn+1]=1\displaystyle \left[ \frac{x}{n + 1} \right] = 1을 만족시키는 실수 xx 중에서 가장 큰 자연수를 ana _{n}이라 할 때, ∑n=130an\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{30} a _{n}의 값은? (단, [t][ t ]는 tt보다 크지 않은 최대 정수이다.) [4점] ①955955②956956③957957④958958⑤959959

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⑤

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해설

[xn]=2,\displaystyle \left[ \frac{x}{n} \right] = 2 , [xn+1]=1\displaystyle \left[ \frac{x}{n + 1} \right] = 1이므로 2n≤x<3n,n+1≤x<2n+22 n \leq x < 3 n , n + 1 \leq x < 2 n + 2이다. a1=2,a2=5,a3=7,⋯a _{1} = 2 , a _{2} = 5 , a _{3} = 7 , \cdots이므로 an={2(n=1)2n+1(n≠1)\displaystyle a _{n} = {\begin{cases} 2 & ( n = 1 ) \\ 2 n + 1 & ( n \ne 1 ) \end{cases}}이다. ∑n=130an=∑n=131(2n−1)−2=959\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{30} a _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{31} ( 2 n - 1 ) - 2 = 959

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#가우스 기호#부등식

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