대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

가우스 기호 점화식

문제

다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 있다. a1=1a _{1} = 1, an+1=[an]+n2\displaystyle a _{n + 1} = [ a _{n} ] + \frac{n}{2} (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots) 이 때, a39a _{39}의 값을 구하시오. (단, [x][ x ]는 xx보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점]

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해설

직접 수열 ana _{n}을 구해보면 a1=1a _{1} = 1, a2=32\displaystyle a _{2} = \frac{3}{2}, a3=2a _{3} = 2, a4=72\displaystyle a _{4} = \frac{7}{2}, a5=5a _{5} = 5, a6=152\displaystyle a _{6} = \frac{15}{2}, a7=10a _{7} = 10, a8=272\displaystyle a _{8} = \frac{27}{2} ⋯⋯\cdots \cdots이므로 ana _{n}은 홀수항은 계차수열이 2n−12 n - 1, 짝수번째 항은 계차수열이 각각 2n2 n인 수열이다. 여기서, 구하려는 값은 a39a _{39}이므로 홀수번째 항들만 묶어서 생각하면 a1a _{1}=1= 1, a3a _{3}=2= 2, a5=5a _{5} = 5, a7=10a _{7} = 10, ⋯\cdots로 가는 수열이므로 a2n−1a _{2n-1}은 초항이 1, 계차수열이 2n−12 n - 1인 수열이다. ∴a2n−1=1+∑k=1n−1(2k−1)=n2−2n+2\displaystyle \therefore a _{2n-1} = 1 + \sum\limits _{k=1} ^{n-1} ( 2 k - 1 ) = n ^{2} - 2 n + 2 ∴a39=202−2⋅20+2=362\therefore a _{39} = 20 ^{2} - 2 \cdot 20 + 2 = 362

태그

#점화식#가우스 기호#계차수열

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