같은 숫자 카드 확률 빈칸

[출제의도] 연역적 추론능력(증명)-확률 20장의 카드 중에서 $k$장 $( 4 \leq k \leq 11 )$의 카드를 택하는 경우의 수는 ${} _{20} C _{k}$이다. 2장의 카드에 적힌 숫자가 같은 경우의 수는 10이고, 나머지 $( k - 2 )$장의 카드에 적힌 숫자가 모두 서로 다른 경우의 수는 나머지 9개의 숫자 중에서 서로 다른 숫자 $( k - 2 )$개를 선택하는 경우의 수가 ${} _{9} C _{k - 2}$이고, 이 각각의 경우에 대하여 카드의 색이 2가지이므로 ${\square {{}_{9} C _{k - 2} \times 2 ^{k - 2}}}$이다. 따라서 $\displaystyle P ( k ) = \frac{10 \times {\square {{}_{9} C _{k - 2} \times 2 ^{k - 2}}}}{{} _{20} C _{k}}$ $P ( m + 1 ) = P ( m )$이라 하면 $\displaystyle \frac{10 \times _{9} C _{m - 1} \times 2 ^{m - 1}}{{} _{20} C _{m + 1}} = \frac{10 \times _{9} C _{m - 2} \times 2 ^{m - 2}}{{} _{20} C _{m}}$ $\displaystyle \frac{{\square {{}_{9} C _{m - 1} \times 2}}}{{} _{20} C _{m + 1}} = \frac{{} _{9} C _{m - 2}}{{} _{20} C _{m}}$ $\displaystyle \frac{\frac{9 !}{( m - 1 ) ! ( 10 - m ) !} \times 2}{\frac{20 !}{( m + 1 ) ! ( 19 - m ) !}} = \frac{\frac{9 !}{( m - 2 ) ! ( 11 - m ) !}}{\frac{20 !}{m ! ( 20 - m ) !}}$ $\displaystyle \frac{( m + 1 ) ! ( 19 - m ) ! \times 2}{( m - 1 ) ! ( 10 - m ) !} = \frac{m ! ( 20 - m ) !}{( m - 2 ) ! ( 11 - m ) !}$ $\displaystyle \frac{2 ( m + 1 )}{m - 1} = \frac{20 - m}{11 - m}$ $2 ( m + 1 ) ( 11 - m ) = ( 20 - m ) ( m - 1 )$ $- 2 m ^{2} + 20 m + 22 = - m ^{2} + 21 m - 20$ $m ^{2} + m - 42 = 0$, $( m + 7 ) ( m - 6 ) = 0$ $4 \leq m \leq 10$이므로 구하는 자연수 $m$은 ${\square {6}}$이다. 따라서 $f ( k ) = _{9} C _{k - 2} \times 2 ^{k - 2}$, $g ( m ) = _{9} C _{m - 1} \times 2$, $a = 6$이므로 $\displaystyle a + \frac{f ( 7 )}{g ( 5 )} = 6 + \frac{{} _{9} C _{5} \times 2 ^{5}}{{} _{9} C _{4} \times 2} = 6 + 16 = 22$