공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

같은 나머지와 최대공약수

문제

세 수 $195 , 153 , 48$ 을 각각 어떤 자연수 $N$ 으로 나누었을 때 나머지가 모두 같도록 하는 자연수 $N$ 의 최대값을 $m$ , 이때의 나머지를 $r$ 라 하자. $m + r$ 의 값은? [4점] ① $19$ ② $21$ ③ $23$ ④ $25$ ⑤ $27$

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⑤

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해설

[출제 의도] 나머지 정리를 이용하여 정수의 문제를 해결할 수 있다. 세 수 $195 , 153 , 48$ 을 각각 $N$ 으로 나누었을 때의 몫을 각각 $a , b , c$ 라 하고 나머지를 모두 $r$ 라 하면 $195 = Na + r$ …㉠ $153 = Nb + r$ …㉡ $48 = Nc + r$ …㉢㉠㉡ ; $42 = N ( a - b )$ ㉡㉢ ; $105 = N ( b - c )$ 에서 $N$ 은 $42$ 와 $105$ 의 공약수이고, $m$ 은 $N$ 의 최대값이므 로 $42$ 와 $105$ 의 최대공약수이다. $\therefore m = 21$ 한편 $48$ 을 $21$ 로 나누었을 때 나머지는 $6$ 이므로 $r = 6$ ∴ $m + r = 27$

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