대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

가수 함수와 직선

문제

정의역이 {x1x<100}\left\{ x | 1 \leq x < 100 \right\}이고 함숫값이 logx\log x의 가수인 함수를 f(x)f ( x )라 하자. 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프와 직선 y=2xn\displaystyle y = 2 - \frac{x}{n}가 만나는 점의 개수가 22가 되도록 하는 자연수 nn의 개수는? [4점] 1122334455

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해설

f(x)={logx(1x<10)logx1(10x<100)\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} & \log x & ( 1 \leq x < 10 ) \\ & \log x - 1 & ( 10 \leq x < 100 ) \end{cases}, y=21nx\displaystyle y = 2 - \frac{1}{n} x의 그래프의 개형은 다음과 같다. y=f(x)y = f ( x ) y=2xn\displaystyle y = 2 - \frac{x}{n}

직선 y=21nx\displaystyle y = 2 - \frac{1}{n} x(10,1)( 10 , 1 )을 지날 때부터 (10,1)( 10 , 1 )을 지나기 전까지 y=f(x)y = f ( x )와 교점이 22가 된다. 따라서 (10,1)( 10 , 1 )을 지날 때 n=5n = 5, (10,1)( 10 , 1 )을 지날 때 n=10n = 10에서 5n<105 \leq n < 10이므로 자연수 nn은 5개다.

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