가수 등차수열

첫째항이 $16$이고 공비가 $\displaystyle 2 ^{\frac{1}{10} {}}$인 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 일반항 $a _{n}$을 구하면 $\displaystyle a _{n} = 16 \times \left( 2 ^{\frac{1}{10}} \right) ^{n-1}$ $\log a _{n}$의 가수를 $b _{n}$이라 하고, $b _{1}$, $b _{2}$, $b _{3}$, $\cdots$, $b _{k-1}$, $b _{k}$, $b _{k+1} + 1$ 이 주어진 순서로 등차수열을 이루기 때문에 첫째항과 공차를 각각 구하면 다음과 같다. $a _{1} = 16$, $\log 16$$= 4 \log 2 = 4 \times 0.301 = 1.204$ $\therefore$ $b _{1} = 0.204$ $\displaystyle a _{2} = 16 \times {2 ^{\frac{1}{10}}}$, $\displaystyle \log \left( 16 \times 2 ^{\frac{1}{10}} \right) = 4 \log 2 + \frac{1}{10} \log 2 = 4 \times 0.301 + \frac{1}{10} \times 0.301 = 1.2341$ $\therefore$ $b _{2} = 0.2341$ 공차 $d$$= b _{2} - b _{1} = 0.2341 - 0.204 = 0.0301$ 따라서 일반항 $b _{k} = b _{1} + ( k - 1 ) \times 0.0301 = 0.204 + ( k - 1 ) \times 0.0301$ 이 때 $b _{k}$$+ 0.0301 = b _{k+1} + 1$이므로 $b _{k} \geq 1$이 되는 최소의 자연수보다 $1$ 작은 수 $k$를 구하면 된다. $b _{k} = 0.204$$+ ( k - 1 ) \times 0.0301 \geq 1$ $\therefore$ $k \geq 27. \times \times \times \times$ 따라서 $k = 27$