대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

가스버블 최대반경

문제

폭약에 의한 수중 폭발이 일어나면 폭발 지점에서 가스버블이 생긴다. 수면으로부터 폭발 지점까지의 깊이가 $D ( \mathrm{m} )$ 인 지점에서 무게가 $W ( \mathrm{kg} )$ 인 폭약이 폭발했을 때의 가스버블의 최대반경을 $R$ $( \mathrm{m} )$ 라고 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. $\displaystyle R = k \left( \frac{W}{D + 10} \right) ^{\frac{1}{3}}$ (단, $k$ 는 양의 상수이다.) 수면으로부터 깊이가 $d ( \mathrm{m} )$ 인 지점에서 무게가 $160 \mathrm{kg}$ 인 폭약이 폭발했을 때의 가스버블의 최대반경을 $R _{1} \mathrm{(} m )$ 이라 하고, 같은 폭발 지점에서 무게가 $p ( \mathrm{kg} )$ 인 폭약이 폭발했을 때의 가스버블의 최대반경을 $R _{2} ( \mathrm{m} )$ 라 하자. $\displaystyle \frac{R _{1}}{R _{2}} = 2$ 일 때, $p$ 의 값을 구하시오. (단, 폭약의 종류는 같다.) [4점]

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[출제의도] 지수법칙을 이용하여 외적 문제 해결하기 $\displaystyle R = k \left( \frac{W}{D + 10} \right) ^{\frac{1}{3}}$ 에서 $\displaystyle R _{1} = k \left( \frac{160}{d + 10} \right) ^{\frac{1}{3}}$ 이고, $\displaystyle R _{2} = k \left( \frac{p}{d + 10} \right) ^{\frac{1}{3}}$ 이다. $\displaystyle \frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{k \left( \frac{160}{d + 10} \right) ^{\frac{1}{3}}}{k \left( \frac{p}{d + 10} \right) ^{\frac{1}{3}}} = \left( \frac{160}{p} \right) ^{\frac{1}{3}} = 2$ 이고 $\displaystyle \sqrt[3]{\frac{160}{p}} = 2$ 에서 $\displaystyle \frac{160}{p} = 8$ 이고 $p = 20$ 이다.

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