대수삼각함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

각의 이등분선과 외접원

문제

그림과 같이 AB‾=3\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 3, AC‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 1이고 ∠BAC=π3\displaystyle \angle {\mathrm{BAC}} = \frac{\pi}{3}인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. ∠BAC\angle \mathrm{BAC}의 이등분선이 선분 BC\mathrm{BC}와 만나는 점을 P\mathrm{P}라 할 때, 삼각형 APC\mathrm{APC}의 외접원의 넓이는? [4점]

①π4\displaystyle \frac{\pi}{4}②516π\displaystyle \frac{5}{16} \pi③38π\displaystyle \frac{3}{8} \pi④716π\displaystyle \frac{7}{16} \pi⑤π2\displaystyle \frac{\pi}{2}

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④

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해설

[출제의도] 삼각함수의 활용 문제 해결하기 선분 AP\mathrm{AP}가 ∠BAC\angle {\mathrm{BAC}}의 이등분선이고 AB‾:AC‾=3:1\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AC}} = 3 : 1이므로 BP‾:PC‾=3:1\displaystyle \overline{\mathrm{BP}} : \overline{\mathrm{PC}} = 3 : 1이다. PC‾=k\displaystyle \overline{\mathrm{PC}} = k라 하면 BP‾=3k\displaystyle \overline{\mathrm{BP}} = 3 k이다. 삼각형 BAC\mathrm{BAC}에서 코사인법칙에 의하여 cos⁡π3=32+12−(4k)22×3×1\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} = \frac{3 ^{2} + 1 ^{2} - \left( 4 k \right) ^{2}}{2 \times 3 \times 1}에서 k>0k > 0이므로 k=74\displaystyle k = \frac{\sqrt{7}}{4}이다. 삼각형 APC\mathrm{APC}의 외접원의 반지름의 길이를 RR라 하면 사인법칙에 의하여 ksin⁡π6=2R\displaystyle \frac{k}{\sin \frac{\pi}{6}} = 2 R이므로 R=74\displaystyle R = \frac{\sqrt{7}}{4}이다. 따라서 삼각형 APC\mathrm{APC}의 외접원의 넓이는 716π\displaystyle \frac{7}{16} \pi

태그

#사인법칙#코사인법칙#각의 이등분선

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