공통수학2평면좌표AI기본 문제 (3점 중반)

각의 이등분선과 내분점의 좌표

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 세 점 O(0,0)\mathrm{O} ( 0 , 0 ), A(8,6)\mathrm{A} ( 8 , 6 ), B(5,0)\mathrm{B} ( 5 , 0 )이 있다. ∠AOB\angle \mathrm{AOB}의 이등분선이 선분 AB\mathrm{AB}와 만나는 점을 P\mathrm{P}라 하자. 점 P\mathrm{P}의 좌표를 (a,b)( a , b )라 할 때, a+ba + b의 값을 구하시오. [3점]

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해설

OA‾=82+62=10\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \sqrt{8 ^{2} + 6 ^{2}} = 10, OB‾=5\displaystyle \overline{\mathrm{OB}} = \mathit{5}이므로 각의 이등분선의 성질에서 AP‾:PB‾=OA‾:OB‾=10:5=2:1\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{OA}} : \overline{\mathrm{OB}} = \mathit{10} : 5 = 2 : 1 점 P\mathrm{P}는 선분 AB\mathrm{AB}를 2:12 : 1로 내분하는 점이므로 a=2×5+1×82+1=183=6\displaystyle a = \frac{2 \times 5 + 1 \times 8}{2 + 1} = \frac{18}{3} = 6 b=2×0+1×62+1=63=2\displaystyle b = \frac{2 \times 0 + 1 \times 6}{2 + 1} = \frac{6}{3} = 2 따라서 a+b=8a + b = 8이다.

태그

#각의 이등분선 정리#내분점#평면좌표

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