각의 이등분선과 아폴로니오스 원

[출제의도] 선분을 내분하는 점의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AO}}} = 2 \sqrt{5}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BO}}} = 3 \sqrt{5}$이므로 각의 이등분선의 성질에 의해 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} : {\overline{\mathrm{BC}}} = {\overline{\mathrm{AO}}} : {\overline{\mathrm{BO}}} = 2 : 3$ $\displaystyle 3 {\overline{\mathrm{AC}}} = 2 {\overline{\mathrm{BC}}}$ $\displaystyle 3 \sqrt{( a + 2 ) ^{2} + ( b - 4 ) ^{2}} = 2 \sqrt{( a - 3 ) ^{2} + ( b + 6 ) ^{2}}$ $5 a ^{2} + 60 a + 5 b ^{2} - 120 b = 0$ $( a + 6 ) ^{2} + ( b - 12 ) ^{2} = 180$ 즉 점 $\mathrm{C} ( \mathit{a} , b )$는 원 $( x + 6 ) ^{2} + ( y - 12 ) ^{2} = 180$ 위의 점이다. (단, 점 $\mathrm{C} ( \mathit{a} , b )$는 직선 $\mathrm{AB}$ 위에 있지 않다.) 직선 $\mathrm{AB}$는 $y = - 2 x$이므로 원의 중심 $( - 6 , 12 )$가 직선 $\mathrm{AB}$ 위에 있다. 따라서 점 $\mathrm{C}$와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리의 최댓값은 원 $( x + 6 ) ^{2} + ( y - 12 ) ^{2} = 180$의 반지름의 길이와 같으므로 $m ^{2} = 180$