각의 이등분선

[출제의도] 사인법칙을 활용하여 문제 해결하기 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 하면 $\displaystyle \sin \left( \angle \mathrm{BAC} \right) = \sin A = \frac{\mathit{a}}{2 \mathit{R}}$, $\displaystyle \sin B = \frac{\mathit{8}}{2 R}$, $\displaystyle \sin C = \frac{\mathit{4}}{2 R}$ $a \left( \sin B + \sin C \right)$$\displaystyle = a \left( \frac{8}{2 R} + \frac{4}{2 R} \right) = \frac{6 a}{R} = 6 \sqrt{3}$$\displaystyle \frac{a}{R} = \sqrt{3}$, $\displaystyle \sin A = \frac{\mathit{a}}{2 \mathit{R}} \mathit{=} \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\angle \mathrm{BAC} \mathrm{>} 90 ^\circ$이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{BAC} = \frac{2}{3} \pi$ 선분 $\mathrm{AP}$가 $\angle \mathrm{BAC}$를 이등분하므로 $\displaystyle \angle \mathrm{PAB} = \angle PAC = \frac{\pi}{3}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BP}}} : {\overline{\mathrm{PC}}} = 4 : 8 = 1 : 2$ 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{1}{3}$배 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times {\overline{\mathrm{AP}}} \times \mathit{\sin} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{2} \times 4 \times 8 \times \mathit{\sin} \frac{2}{3} \pi \right)$ 따라서 선분 $\mathrm{AP}$의 길이는 $\displaystyle \frac{8}{3}$