기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

각이등분선 벡터 내적

문제

∠BAC=60∘\mathrm{\angle} BAC = 60 ^\circ이고 ∠BCA>90∘\angle BCA > 90 ^\circ인 둔각삼각형 ABCABC가 있다. 그림과 같이 ∠BAC\angle BAC의 이등분선과 선분 BCBC의 교점을 D\mathrm{D}, ∠BAC\angle BAC의 외각의 이등분선과 선분 BCBC의 연장선의 교점을 EE라 할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

ㄱ. AB⃗+AC⃗=2AD⃗\mathrm{\vec{AB}} + {\vec{AC}} = 2 {\vec{AD}} ㄴ. AB⃗∙AD⃗>AC⃗∙AE⃗\vec{\mathrm{AB}} \bullet \vec{\mathrm{AD}} > \vec{\mathrm{AC}} \bullet \vec{\mathrm{AE}} ㄷ. AB⃗∙AC⃗>AD⃗∙AE⃗\vec{\mathrm{AB}} \bullet \vec{\mathrm{AC}} > \vec{\mathrm{AD}} \bullet \vec{\mathrm{AE}} <보기>

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

ㄱ) AD⃗≠AB⃗+AC⃗2\displaystyle \vec{\mathrm{AD}} \neq \frac{\vec{\mathrm{AB}} + \vec{\mathrm{AC}}}{2} (∵D\because D는 중점이 아님) ㄴ) A에서 BE‾\displaystyle {\overline{BE}}에 내린 수선의 발을 H라 하면 HA⃗=a⃗,HB⃗=b⃗,HC⃗=c⃗,HD⃗=d⃗,HE⃗=e⃗\vec{\mathrm{HA}} = \vec{a} , \vec{\mathrm{HB}} = \vec{b} , \vec{\mathrm{HC}} = \vec{c} , \vec{\mathrm{HD}} = \vec{d} , \vec{\mathrm{HE}} = \vec{e}라 두면 AB⃗∙AD⃗−AC⃗∙AE⃗=(b⃗−a⃗)∙(d⃗−a⃗)−(c⃗−a⃗)∙(e⃗−a⃗)\vec{\mathrm{AB}} \bullet \vec{\mathrm{AD}} - \vec{\mathrm{AC}} \bullet \vec{\mathrm{AE}} = \left( \vec{b} - \vec{a} \right) \bullet \left( \vec{d} - \vec{a} \right) - \left( \vec{c} - \vec{a} \right) \bullet \left( \vec{e} - \vec{a} \right) =b⃗∙d⃗−c⃗∙e⃗>0= \vec{b} \bullet \vec{d} - \vec{c} \bullet \vec{e} > 0 (∵b⃗∙a⃗=c⃗∙a⃗=d⃗∙a⃗=e⃗∙a⃗=0,b⃗∙d⃗>0,c⃗∙e⃗<0\because \vec{b} \bullet \vec{a} = \vec{c} \bullet \vec{a} = \vec{d} \bullet \vec{a} = \vec{e} \bullet \vec{a} = 0 , \vec{b} \bullet \vec{d} > 0 , \vec{c} \bullet \vec{e} < 0) ㄷ) AB⃗∙AC⃗−AD⃗∙AE⃗=(b⃗−a⃗)∙(c⃗−a⃗)−(d⃗−a⃗)∙(e⃗−a⃗)\vec{\mathrm{AB}} \bullet \vec{\mathrm{AC}} - \vec{\mathrm{AD}} \bullet \vec{\mathrm{AE}} = \left( \vec{b} - \vec{a} \right) \bullet \left( \vec{c} - \vec{a} \right) - \left( \vec{d} - \vec{a} \right) \bullet \left( \vec{e} - \vec{a} \right) =b⃗∙c⃗−d⃗∙e⃗>0= \vec{b} \bullet \vec{c} - \vec{d} \bullet \vec{e} > 0 (∵b⃗∙a⃗=c⃗∙a⃗=d⃗∙a⃗=e⃗∙a⃗=0,b⃗∙c⃗>0,d⃗∙e⃗<0\because \vec{b} \bullet \vec{a} = \vec{c} \bullet \vec{a} = \vec{d} \bullet \vec{a} = \vec{e} \bullet \vec{a} = 0 , \vec{b} \bullet \vec{c} > 0 , \vec{d} \bullet \vec{e} < 0) 그러므로 ㄴ과 ㄷ이 옳다.

태그

#내적#각의 이등분선#보기

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