각 이등분선과 외접원 보기

[출제의도] 코사인법칙을 이용하여 도형의 성질을 추론한다. $\angle \mathrm{ABC}$$= \theta$라 하자. ㄱ. 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙을 이용하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + \mathrm{\overline{BC}} ^{2} - 2 \times \mathrm{\overline{AB}} \times \mathrm{\overline{BC}} \times \cos \theta$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} ^{2}$$\displaystyle = 5 ^{2} + 4 ^{2} - 2 \times 5 \times 4 \times \frac{1}{8}$$= 36$ 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}$$= 6$ (참) ㄴ. 호 $\mathrm{EA}$에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로 $\mathrm{\angle} ACE$$= \mathrm{\angle} ABE$ 호 $\mathrm{CE}$에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로 $\mathrm{\angle} EAC$$= \mathrm{\angle} EBC$ 한편, $\mathrm{\angle} ABE$$= \mathrm{\angle} EBC$이므로 $\mathrm{\angle} ACE$$= \mathrm{\angle} EAC$ 그러므로 삼각형 $\mathrm{EAC}$는 $\displaystyle \mathrm{\overline{EA}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{EC}}$인 이등변삼각형이다. (참) ㄷ. 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 $\mathrm{\angle} ADE$$= \mathrm{\angle} DAB + \angle ABD$ 한편, $\angle \mathrm{DAB}$$\mathrm{=} \angle CAD$, $\mathrm{\angle} ABD$$= \mathrm{\angle} EBC$ 그러므로 $\mathrm{\angle} ADE$$= \mathrm{\angle} CAD + \angle EBC$ $= \mathrm{\angle} CAD + \angle EAC$ $= \mathrm{\angle} EAD$ 즉, 삼각형 $\mathrm{EAD}$는 $\displaystyle \mathrm{\overline{EA}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{ED}}$인 이등변삼각형이다. 삼각형 $\mathrm{EAC}$에서 코사인법칙을 이용하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{EA}} ^{2} + \mathrm{\overline{EC}} ^{2} - 2 \times \mathrm{\overline{EA}} \times \mathrm{\overline{EC}} \times \cos \left( \mathrm{\pi} - \theta \right)$이고 ㄴ에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{EA}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{EC}}$이므로 $36$$\displaystyle = 2 \times \mathrm{\overline{EA}} ^{2} - 2 \times \mathrm{\overline{EA}} ^{2} \times \left( - \frac{1}{8} \right)$, $\displaystyle \mathrm{\overline{EA}}$$= 4$ 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{EA}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{ED}}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{ED}}$$= 4$ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.