대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

개수로 정의된 수열

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에서 a1=2a _{1} = 2이고, n≥1n \geq 1일 때, an+1a _{n+1}은 1n+2<ank<1n\displaystyle \frac{1}{n + 2} < \frac{a _{n}}{k} < \frac{1}{n} 을 만족시키는 자연수 kk의 개수이다. a10a _{10}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

주어진 부등식에서 자연수 kk의 범위는 nan<k<(n+2)ann a _{n} < k < ( n + 2 ) a _{n}이므로 kk의 개수 an+1a _{n+1}은 an+1=(n+2)an−nan−1=2an−1a _{n+1} = ( n + 2 ) a _{n} - n a _{n} - 1 = 2 a _{n} - 1 ∴an=2n−1+1\therefore a _{n} = 2 ^{n-1} + 1 ∴a10=29+1=513\therefore a _{10} = 2 ^{9} + 1 = 513

태그

#점화식#귀납적 정의

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