대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

개체수 증가 모형

문제

어떤 생물의 개체수를 측정하기 시작하여 시각 tt에서의 개체수를 N(t)N ( t )라 할 때, 다음 관계식이 성립한다고 한다. N(t)=K1+c⋅a−bt\displaystyle N ( t ) = \frac{K}{1 + c \cdot a ^{- b t}} (단, a,b,ca , b , c는 양의 상수) 이때, KK는 이 생물의 최대개체량이다. 이 생물의 개체수를 측정하기 시작하여 t=5t = 5일 때의 개체수는 최대개체량의 12\displaystyle \frac{1}{2}이었고, t=7t = 7일 때의 개체수는 최대개체량의 34\displaystyle \frac{3}{4}이었다. 이 생물의 개체수를 측정하기 시작하여 t=9t = 9일 때의 개체수를 나타내는 것은? [4점]

①67K\displaystyle \frac{6}{7} K②78K\displaystyle \frac{7}{8} K③89K\displaystyle \frac{8}{9} K④910K\displaystyle \frac{9}{10} K⑤1011K\displaystyle \frac{10}{11} K

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④

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해설

N(5)N ( 5 )=K1+c⋅a−5b=K2\displaystyle = \frac{K}{1 + c \cdot a ^{- 5 b}} = \frac{K}{2}에서 c=a5bc = a ^{5b} 이므로 N(7)=K1+a−2b=34K\displaystyle N ( 7 ) = \frac{K}{1 + a ^{- 2 b}} = \frac{3}{4} K에서 a−2b=13\displaystyle a ^{-2b} = \frac{1}{3}이다. ∴ N(9)=K1+a−4b=K1+(a−2b)2=910K\displaystyle N ( 9 ) = \frac{K}{1 + a ^{- 4 b}} = \frac{K}{1 + ( a ^{- 2 b} ) ^{2}} = \frac{9}{10} K

태그

#지수#실생활

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