f(x^2)=f(x)f(-x)를 만족하는 이차식 개수

$f ( x ) = ax ^{2} + bx + c$ ($a \ne 0$)라 하면 $f ( x ^{2} ) = ax ^{4} + bx ^{2} + c$ ⋯⋯ ㉠ $f ( x ) f ( - x )$ $= ( ax ^{2} + bx + c ) ( ax ^{2} - bx + c )$ $= ( ax ^{2} + c ) ^{2} - ( bx ) ^{2}$ $= a ^{2} x ^{4} + ( 2 ac - b ^{2} ) x ^{2} + c ^{2}$ ⋯⋯ ㉡ ㉠$=$㉡에서 $a ^{2} = a$, $2 ac - b ^{2} = b$, $c ^{2} = c$이다. $a ^{2} = a$에서 $a \ne 0$이므로 $a = 1$ $c ^{2} = c$에서 $c = 0$ 또는 $c = 1$ ⅰ) $c = 0$일 때, $2 ac - b ^{2} = b$에서 $b ( b + 1 ) = 0$ ∴ $b = 0$ 또는 $b = - 1$ ⅱ) $c = 1$일 때, $2 ac - b ^{2} = b$에서 $b ^{2} + b - 2 = ( b + 2 ) ( b - 1 ) = 0$ ∴ $b = - 2$ 또는 $b = 1$ ⅰ), ⅱ)에서 가능한 $( a , b , c )$의 순서쌍의 개수는 $4$개다. 따라서 구하는 이차식 $f ( x )$의 개수는 $4$개다.