f(f(x)) 실근 개수

[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 방정식의 실근의 개수를 구한다. $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} - 3 x + 3 & ( 0 \leq x < 1 ) \\ \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} & ( 1 \leq x \leq 3 ) \end{cases}}$ 이므로 $f ( x ) = t$($0 \leq t \leq 3$)라 하면 $f ( f ( x ) ) = 2 - f ( x )$에서 $f ( t ) = 2 - t$ $( i )$ $0 \leq t < 1$일 때 $- 3 t + 3 = 2 - t$ ∴ $\displaystyle t = \frac{1}{2}$ $( ii )$ $1 \leq t \leq 3$일 때 $\displaystyle \frac{1}{2} t - \frac{1}{2} = 2 - t$ ∴ $\displaystyle t = \frac{5}{3}$ $( i )$, $( ii )$에서 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle f ( x ) = \frac{5}{3}$

그림과 같이 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$은 서로 다른 두 점에서 만나고, 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{5}{3}$는 한 점에서 만나므로 방정식 $f ( f ( x ) ) = 2 - f ( x )$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$이다. [다른 풀이] $f ( f ( x ) )$$\displaystyle = {\begin{cases} - 3 f ( x ) + 3 & ( 0 \leq f ( x ) < 1 ) \\ \frac{1}{2} f ( x ) - \frac{1}{2} & ( 1 \leq f ( x ) \leq 3 ) \end{cases}}$ $- 3 x + 3 = 1$에서 $\displaystyle x = \frac{2}{3}$이므로 $f ( f ( x ) )$$\displaystyle = {\begin{cases} \frac{1}{2} \left( - 3 x + 3 \right) - \frac{1}{2} & \left( 0 \leq x < \frac{2}{3} \right) \\ - 3 \left( - 3 x + 3 \right) + 3 & \left( \frac{2}{3} \leq x < 1 \right) \\ - 3 \left( \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \right) + 3 & ( 1 \leq x \leq 3 ) \end{cases}}$ $\displaystyle = {\begin{cases} - \frac{3}{2} x + 1 & \left( 0 \leq x < \frac{2}{3} \right) \\ 9 x - 6 & \left( \frac{2}{3} \leq x < 1 \right) \\ - \frac{3}{2} x + \frac{9}{2} & ( 1 \leq x \leq 3 ) \end{cases}}$ $( i )$ $\displaystyle 0 \leq x < \frac{2}{3}$일 때 $f ( f ( x ) ) = 2 - f ( x )$에서 $\displaystyle - \frac{3}{2} x + 1 = 2 - ( - 3 x + 3 )$ ∴ $\displaystyle x = \frac{4}{9}$ $( ii )$ $\displaystyle \frac{2}{3} \leq x < 1$일 때 $f ( f ( x ) ) = 2 - f ( x )$에서 $9 x - 6 = 2 - ( - 3 x + 3 )$ ∴ $\displaystyle x = \frac{5}{6}$ $( iii )$ $1 \leq x \leq 3$일 때 $f ( f ( x ) ) = 2 - f ( x )$에서 $\displaystyle - \frac{3}{2} x + \frac{9}{2} = 2 - \left( \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \right)$ ∴ $x = 2$ $( i )$, $( ii )$, $( iii )$에서 방정식 $f ( f ( x ) ) = 2 - f ( x )$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$이다.