대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

f(5n)=f(n)+3 합

문제

자연수 kk에 대하여 n=5kn = 5 ^{k}일 때, f(n)f ( n )이 f(5n)=f(n)+3,f(5)=4f ( 5 n ) = f ( n ) + 3 , f ( 5 ) = 4 를 만족시킨다. ∑k=110f(5k)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} f ( 5 ^{k} )의 값을 구하시오. [4점]

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175175

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해설

f(5)=4f ( 5 ) = 4 f(52)=f(5⋅5)=f(5)+3=4+3f ( 5 ^{2} ) = f ( 5 \cdot 5 ) = f ( 5 ) + 3 = 4 + 3 f(53)=f(5⋅52)=f(52)+3=4+3+3f ( 5 ^{3} ) = f ( 5 \cdot 5 ^{2} ) = f ( 5 ^{2} ) + 3 = 4 + 3 + 3 ⋮ 이므로 f(5k)=4+(k−1)⋅3=3k+1f ( 5 ^{k} ) = 4 + ( k - 1 ) \cdot 3 = 3 k + 1 ∴ (주어진 식)=∑k=110(3k+1)=175\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{10} ( 3 k + 1 ) = 175

태그

#등차수열#시그마

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