공통수학2유리함수와 무리함수AI기본 문제 (3점 중반)

fⁿ(1)의 규칙 찾아 값 구하기

문제

함수 f(x)=x2x+1\displaystyle f ( x ) = \frac{x}{2 x + 1}에 대하여 f1=ff ^{1} = f, fn+1=f∘fnf ^{n + 1} = f \circ f ^{n} (nn은 자연수)으로 정의할 때, f5(1)f ^{5} ( 1 )의 값은? [3점] ①19\displaystyle \frac{1}{9}②110\displaystyle \frac{1}{10}③111\displaystyle \frac{1}{11}④112\displaystyle \frac{1}{12}⑤1011\displaystyle \frac{10}{11}

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③

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해설

f1(1)=f(1)=13\displaystyle f ^{1} ( 1 ) = f ( 1 ) = \frac{1}{3} f2(1)=f(13)=1323+1=15\displaystyle f ^{2} ( 1 ) = f \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3} + 1} = \frac{1}{5} f3(1)=f(15)=1525+1=17\displaystyle f ^{3} ( 1 ) = f \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5} + 1} = \frac{1}{7} 이므로 fn(1)=12n+1\displaystyle f ^{n} ( 1 ) = \frac{1}{2 n + 1}로 추정할 수 있다. 실제로 fn(1)=12n+1\displaystyle f ^{n} ( 1 ) = \frac{1}{2 n + 1}이면 fn+1(1)=f(12n+1)=12n+122n+1+1=12n+3\displaystyle f ^{n + 1} ( 1 ) = f \left( \frac{1}{2 n + 1} \right) = \frac{\frac{1}{2 n + 1}}{\frac{2}{2 n + 1} + 1} = \frac{1}{2 n + 3}이므로 모든 자연수 nn에 대하여 성립한다. 따라서 f5(1)=111\displaystyle f ^{5} ( 1 ) = \frac{1}{11} ③

태그

#유리함수#반복 합성#규칙 찾기

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