음함수와 극값 조건

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 $f \left( x \right)$에 대하여 $f \left( - 3 \right) f \left( 3 \right) < 0$이므로 사잇값 정리에 의하여 $f \left( \alpha \right) = 0$을 만족시키는 실수 $\alpha$가 열린구간 $\left( - 3 , 3 \right)$에 적어도 하나 존재한다. 조건 (가)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{5} + \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{3} + ax + b = \ln \left( x ^{2} + x + \frac{5}{2} \right)$이므로 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle 5 \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{4} f' \left( x \right) + 3 \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} f' \left( x \right) + a = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x + \frac{5}{2}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 양변에 $x = \alpha$를 대입하면 $\displaystyle \frac{2 \alpha + 1}{\alpha ^{2} + \alpha + \frac{5}{2}} = a$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $f' \left( 2 \right) > 0$이므로 ㉠에서 $5 \left\{ f \left( 2 \right) \right\} ^{4} f' \left( 2 \right) + 3 \left\{ f \left( 2 \right) \right\} ^{2} f' \left( 2 \right) > 0$이고 $\displaystyle \frac{10}{17} - a > 0$, $\displaystyle a < \frac{10}{17}$ $\displaystyle \frac{2 \alpha + 1}{\alpha ^{2} + \alpha + \frac{5}{2}} < \frac{10}{17}$이므로 $\displaystyle \alpha < \frac{2}{5}$ 또는 $\alpha > 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ ㉠의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $20 \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{3} \left\{ f' \left( x \right) \right\} ^{2} + 5 \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{4} f'' \left( x \right)$$+ 6 f \left( x \right) \left\{ f' \left( x \right) \right\} ^{2} + 3 \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} f'' \left( x \right)$ $\displaystyle = - \frac{2 \left( x ^{2} + x - 2 \right)}{\left( x ^{2} + x + \frac{5}{2} \right) ^{2}}$ 양변에 $x = \alpha$를 대입하면 $\displaystyle - \frac{2 \left( \alpha ^{2} + \alpha - 2 \right)}{\left( \alpha ^{2} + \alpha + \frac{5}{2} \right) ^{2}} = 0$ $\alpha ^{2} + \alpha - 2 = 0$이므로 $\alpha = - 2$ ($\because$ ㉢) ㉡에서 $\displaystyle a = - \frac{2}{3}$이고 $f \left( - 2 \right) = 0$이므로 조건 (가)에서 $\displaystyle - 2 a + b = \ln \frac{9}{2}$, $\displaystyle b = - \frac{4}{3} + \ln \frac{9}{2}$ $\displaystyle \therefore a \times e ^{b} = \left( - \frac{2}{3} \right) \times \frac{9}{2} e ^{- \frac{4}{3}} = - 3 e ^{- \frac{4}{3}}$