미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

음함수 접선의 방정식

문제

곡선 eyln⁡x=2y+1e ^{y} \ln x = 2 y + 1위의 점 (e,0)( e , 0 )에서의 접선의 방정식을 y=ax+by = a x + b라 할 때, aba b의 값은? (단, a,ba , b는 상수이다.) [3점]

①−2e- 2 e②−e- e③−1- 1④−2e\displaystyle - \frac{2}{e}⑤−1e\displaystyle - \frac{1}{e}

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⑤

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해설

음함수 미분법에 의하여 곡선을 미분하면 eydydxln⁡x+ey1x=2dydx\displaystyle e ^{y} \frac{dy}{dx} \ln x + e ^{y} \frac{1}{x} = 2 \frac{dy}{dx} 점 (e,0)( e , 0 )을 대입하면 dydx+1e=2dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} + \frac{1}{e} = 2 \frac{dy}{dx} ∴dydx=1e\displaystyle \therefore \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e} 따라서 접선의 방정식은 y=1e(x−e)+0\displaystyle y = \frac{1}{e} ( x - e ) + 0 y=1ex−1\displaystyle y = \frac{1}{e} x - 1 ∴ab=−1e\displaystyle \therefore ab = - \frac{1}{e}

태그

#음함수의 미분법#접선

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