음함수 접선 수직

[출제의도] 음함수의 미분법을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 상수의 값을 구할 수 있는가 곡선 $x ^{2} - 2 xy + 2 y ^{2} = 15$에서 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle 2 x - 2 y - 2 x \frac{dy}{dx} + 4 y \frac{dy}{dx} = 0$ $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x - 2 y}$ (단, $x \ne 2 y$) 점 ${\mathrm{A}} \left( a , a + k \right)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{a - \left( a + k \right)}{a - 2 \left( a + k \right)}$$\displaystyle = \frac{k}{a + 2 k}$ 점 ${\mathrm{B}} \left( b , b + k \right)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{b - \left( b + k \right)}{b - 2 \left( b + k \right)}$$\displaystyle = \frac{k}{b + 2 k}$ 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서의 접선이 서로 수직이므로 $\displaystyle \frac{k}{a + 2 k} {\times} \frac{k}{b + 2 k} = \mathit{-} 1$ $ab + 2 \left( a + b \right) k + 5 k ^{2} = 0$ $\cdots \cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{A}$가 곡선 $x ^{2} - 2 xy + 2 y ^{2} = 15$ 즉, $\left( x - y \right) ^{2} + y ^{2} = 15$ 위의 점이므로 $k ^{2} + \left( a + k \right) ^{2} = 15$ $\cdots \cdots$ ㉡ 점 $\mathrm{B}$가 곡선 $x ^{2} - 2 xy + 2 y ^{2} = 15$ 즉, $\left( x - y \right) ^{2} + y ^{2} = 15$ 위의 점이므로 $k ^{2} + \left( b + k \right) ^{2} = 15$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉡, ㉢에서 $\left( a + k \right) ^{2} = \left( b + k \right) ^{2}$ $\left( a - b \right) \left( a + b + 2 k \right) = 0$ $a \ne b$이므로 $a + b = \mathit{-} 2 k$ $\cdots \cdots$ ㉣ ㉣을 ㉠에 대입하면 $ab - 4 k ^{2} + 5 k ^{2} = 0$ $k ^{2} = \mathit{-} ab$ $\cdots \cdots$ ㉤ ㉡에서 $2 k ^{2} + 2 ak + a ^{2} = 15$ ㉣, ㉤을 위 식에 대입하면 $- 2 ab + a \left( - a - b \right) + a ^{2} = 15$ $ab = \mathit{-} 5$ 따라서 $k ^{2} = \mathit{-} ab$$= \mathit{-} \left( - 5 \right) = 5$