음함수 접선 기울기

[출제의도] 음함수의 미분법을 이요하여 접선의 기울기를 구할 수 있는가? $x ^{2} + xy + y ^{3} = 7$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle 2 x + y + x \frac{dy}{dx} + 3 y ^{2} \frac{dy}{dx} = 0$ $\displaystyle \left( x + 3 y ^{2} \right) \frac{dy}{dx} = - \left( 2 x + y \right)$ $\displaystyle \therefore \frac{dy}{dx} = - \frac{2 x + y}{x + 3 y ^{2}}$ (단, $x + 3 y ^{2} \neq 0$) 따라서 곡선 $x ^{2} + xy + y ^{3} = 7$ 위의 점 $( 2 , 1 )$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle - \frac{2 \times 2 + 1}{2 + 3 \times 1 ^{2}} = - 1$