음함수 접선 기울기

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-평면곡선 곡선 $\displaystyle \sin x \cos y = \frac{1}{3}$은 점 $( a , b )$를 지나므로 $\displaystyle \sin a \cos b = \frac{1}{3} \cdots \text{㉠}$ $\displaystyle \sin x \cos y = \frac{1}{3}$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \cos x \cos y - \sin x \sin y \frac{dy}{dx} = 0$ 이때 점 $( a , b )$에서의 접선의 기울기가 1이므로 $\cos a \cos b - \sin a \sin b = 0$, 즉 $\cos ( a + b ) = 0$ 이때 $0 \leq a + b < 2 \pi$이므로 $\displaystyle a + b = \frac{\pi}{2}$ 또는 $\displaystyle a + b = \frac{3 \pi}{2}$ (ⅰ) $\displaystyle a + b = \frac{\pi}{2}$일 때, ㉠에서 $\displaystyle \sin a \cos \left( \frac{\pi}{2} - a \right) = \sin ^{2} a = \frac{1}{3}$ $0 \leq a < \pi$에서 $0 \leq \sin a \leq 1$이므로 $\displaystyle \sin a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ (ⅱ) $\displaystyle a + b = \frac{3 \pi}{2}$일 때, ㉠에서 $\displaystyle \sin a \cos \left( \frac{3 \pi}{2} - a \right) = - \sin ^{2} a = \frac{1}{3}$ 이때 $\sin ^{2} a \geq 0$이므로 등식을 만족시키는 $a$의 값은 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle a + b = \frac{\pi}{2}$, $\displaystyle \sin a = \frac{\sqrt{3}}{3}$이므로 $\displaystyle \sin b \cos a = \sin \left( \frac{\pi}{2} - a \right) \cos a = \cos ^{2} a = 1 - \sin ^{2} a = \frac{2}{3}$ 따라서 $p = 3 , q = 2$이므로 $p + q = 5$