음함수 접선 기울기

[출제의도] 음함수의 미분법을 이용하여 접선의 기울기를 구할 수 있는가? 점 $( a , 0 )$는 곡선 $x ^{3} - y ^{3} = e ^{xy}$ 위의 점이므로 $a ^{3} = 1$에서 $a = 1$ $x ^{3} - y ^{3} = e ^{xy}$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle 3 x ^{2} - 3 y ^{2} \frac{dy}{dx} = ye ^{xy} + x e ^{xy} \frac{dy}{dx}$ 이므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{3 x ^{2} - ye ^{xy}}{x e ^{xy} + 3 y ^{2}}$(단, $x e ^{xy} + 3 y ^{2} \ne 0$) 따라서 곡선 $x ^{3} - y ^{3} = e ^{xy}$ 위의 점 $( 1 , 0 )$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle b = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3$ 따라서 ∴ $a + b = 1 + 3 = 4$