대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

음계 주파수 비

문제

서양음악의 $12$ 음계에서 음의 주파수는 반음 올라갈 때마다 일정 비율로 높아져 $12$ 반음 올라가면 $2$ 배가 되는 등비수열을 이룬다. 아래 피아노 건반에 표시된 도, 미, 솔의 주파수비 $a _{1} : a _{5} : a _{8}$ 에 가장 가까운 정수비는? (단, $\displaystyle 2 ^{\frac{1}{3}} = \frac{5}{4} , 2 ^{\frac{5}{12}} = \frac{4}{3} , 2 ^{\frac{7}{12}} = \frac{3}{2}$ 으로 근사하여 계산한다.) [3점]

① $2 : 3 : 4$ ② $3 : 4 : 5$ ③ $4 : 5 : 6$ ④ $5 : 6 : 8$ ⑤ $6 : 8 : 9$

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③

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해설

$a _{1} r ^{12} = 2 a _{1}$ 이므로 $r ^{12} = 2$ $\displaystyle \therefore r = 2 ^{\frac{1}{12}}$ $a _{1} : a _{5} : a _{8} = a _{1} : a _{1} r ^{4} : a _{1} r ^{7}$ $\displaystyle = a _{1} : a _{1} 2 ^{\frac{4}{12}} : a _{1} 2 ^{\frac{7}{12}}$ $\displaystyle = 1 : 2 ^{\frac{1}{3}} : 2 ^{\frac{7}{12}}$ $\displaystyle = 1 : \frac{5}{4} : \frac{3}{2}$ $= 4 : 5 : 6$

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