어떤 x 명제 참 조건

[출제의도] ‘어떤’이 포함된 명제가 참이 되기 위한 조건을 안다. 명제 ‘$k - 1 \leq x \leq k + 3$인 어떤 실수 $x$에 대하여 $0 \leq x \leq 2$이다.’에서 조건 $k - 1 \leq x \leq k + 3$의 진리집합을 $P = \left\{ x \left| k - 1 \leq x \leq k + 3 \right\} \right.$ 조건 $0 \leq x \leq 2$의 진리집합을 $Q = \left\{ x \left| 0 \leq x \leq 2 \right\} \right.$ 라 하자. 주어진 명제가 참이 되려면 진리집합 $P$에 속하는 원소 중에서 진리집합 $Q$에 속하는 원소가 존재한다는 것을 의미한다. 즉, 주어진 명제가 참이 되려면 $P \cap Q \ne \emptyset$이어야 한다. 따라서 두 진리집합 $P$와 $Q$를 수직선 위에 나타내어 보면 다음의 $2$가지 경우 중 하나이다. (ⅰ) $k - 1 \geq 0$인 경우

$k - 1 \leq 2$, $k \leq 3$ $\therefore$ $1 \leq k \leq 3$ (ⅱ) $k - 1 < 0$인 경우

$0 \leq k + 3$, $k \geq - 3$ $\therefore$$- 3 \leq k < 1$ 그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에서 $- 3 \leq k \leq 3$이다. 따라서 $- 3 \leq k \leq 3$를 만족하는 정수는 $- 3$, $- 2$, $- 1$, $0$, $1$, $2$, $3$의 $7$개다. [참고] 일반적으로 전체집합 $U$에서의 조건 $p$에 대하여 ‘모든 $x$에 대하여 $p$이다.’, ‘어떤 $x$에 대하여 $p$이다.’ 와 같은 문장은 참, 거짓이 구별되므로 명제라고 할 수 있다. 한편, 조건 $p$의 진리집합을 $P$라 할 때, ‘모든 $x$에 대하여 $p$이다.’가 참이 되기 위해서는 $P = U$이어야 하고, ‘어떤 $x$에 대하여 $p$이다.’가 참이 되기 위해서는 $P \ne \emptyset$이어야 한다.