어떤 x 에 대한 명제

[출제의도] 조건이 참인 명제가 되도록 하는 자연수의 최솟값을 구하는 문제를 해결한다. $f ( x )$$= x ^{2} - 8 x + n$이라 하자. $2 \leq x \leq 5$인 어떤 실수 $x$에 대하여 $f ( x ) \geq 0$이려면 $2 \leq x \leq 5$이고 $f ( x ) \geq 0$인 실수 $x$가 적어도 하나 존재해야 하므로 이 범위에서 함수 $f ( x )$의 최댓값이 $0$ 이상이어야 한다. $f ( x )$$= x ^{2} - 8 x + n$$= ( x - 4 ) ^{2} + n - 16$ 에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프의 꼭짓점의 $x$좌표 $4$는 $2 {\leq} x {\leq} 5$에 속한다. $f ( 2 ) = n - 12$ $f ( 4 ) = n - 16$ $f ( 5 ) = n - 15$ 이므로 함수 $f ( x )$는 $x = 2$에서 최댓값 $n - 12$를 갖는다. 따라서 $f ( 2 )$$= n - 12$$\geq 0$ $n \geq 12$ 이므로 자연수 $n$의 최솟값은 $12$이다.