공통수학2명제수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

어떤 조건 명제

문제

두 실수 xx, yy에 대하여 조건 pp, qq가 p:y≤k−x2p : y \leq k - x ^{2} q:x2+(y−20)2≤2q : x ^{2} + ( y - 20 ) ^{2} \leq 2 일 때, 명제 ‘어떤 xx, yy에 대하여 pp이면 qq이다.’가 참이 되도록 하는 정수 kk의 최솟값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 명제와 진리집합의 관계를 이해하여 조건을 만족하는 문제를 해결한다. 두 조건 pp, qq의 진리집합을 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}라 할 때, 명제가 참이 되려면 P∩Q≠∅\mathrm{P} \cap Q \ne \emptyset이어야 한다. 그러므로 부등식 x2+(y−20)2≤2x ^{2} + ( y - 20 ) ^{2} \leq 2가 나타내는 영역과 y≤k−x2y \leq k - x ^{2}이 나타내는 영역의 공통부분이 존재해야 한다.

곡선 y=k−x2y = k - x ^{2}의 꼭짓점의 좌표 (0,k)( 0 , k )가 (0,20−2)\displaystyle ( 0 , 20 - \sqrt{2} )일 때, 그림과 같이 x2+(y−20)2=2x ^{2} + ( y - 20 ) ^{2} = 2와 한 점에서 만난다. 그러므로 k≥20−2\displaystyle k \geq 20 - \sqrt{2}이면 명제는 참이 된다. 따라서 이를 만족시키는 정수 kk의 최솟값은 1919

태그

#명제#영역#원

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