엔트로피 최대

$S = - k \left\{ p {\mathrm{\ln}} \mathit{p} + \left( 1 - p \right) {\mathrm{\ln}} \mathit{\left( 1 - p \right)} \right\}$에서 $\cdots$$\cdots$㉠ $S' = - k \left\{ {\mathrm{\ln}} \mathit{p} + 1 - {\mathrm{\ln}} \mathit{\left( 1 - p \right)} - 1 \right\}$$\displaystyle = - k {\mathrm{\ln}} \frac{\mathit{p}}{1 - p}$ $S' = 0$에서 $\displaystyle \frac{p}{1 - p} = 1$$\therefore$$\displaystyle p = \frac{1}{2}$ 또한 $p$의 범위는 ㉠에서 로그의 진수 조건에 의해 ${\mathrm{\ln}} \mathit{p}$에서 ${\mathrm{\ln}} \mathit{p} > 0$, $\mathrm{\mathrm{\ln}} \mathit{\mathit{\left( 1 - p \right)}}$에서 $p < 1$ $\therefore$$0 < p < 1$ $\left( 0 , 1 \right)$에서 증감표를 나타내어 보면

따라서, $S$는 $\displaystyle p = \frac{1}{2}$에서 극댓값이고 최댓값인 $\displaystyle - k {\mathrm{\ln}} \frac{\mathit{1}}{2}$을 갖는다.