미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)둘러싸인 넓이 차광고 영역 (상세 상단)문제[13 ~ 14] 자연수 nnn에 대하여 곡선 y=2nx\displaystyle y = \frac{2 n}{x}y=x2n과 직선 y=−xn+3\displaystyle y = - \frac{x}{n} + 3y=−nx+3의 두 교점을 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}An, Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}}Bn이라 할 때, 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 곡선 y=2nx\displaystyle y = \frac{2 n}{x}y=x2n과 직선 y=−xn+3\displaystyle y = - \frac{x}{n} + 3y=−nx+3으로 둘러싸인 부분의 넓이를 SnS _{n}Sn이라 할 때, Sn+1−SnS _{n+1} - S _{n}Sn+1−Sn의 값은? [4점] ①32−2ln2\displaystyle \frac{3}{2} - 2 \ln 223−2ln2②1−ln21 - \ln 21−ln2③32−ln2\displaystyle \frac{3}{2} - \ln 223−ln2④1+ln21 + \ln 21+ln2⑤32+2ln2\displaystyle \frac{3}{2} + 2 \ln 223+2ln2정답 보기①자료 내려받기아직 올라온 파일이 없습니다.해설[출제의도] 정적분을 이해하고 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구한다. 곡선 y=2nx\displaystyle y = \frac{2 n}{x}y=x2n과 직선 y=−xn+3\displaystyle y = - \frac{x}{n} + 3y=−nx+3의 교점이 An(n,2){\mathrm{A}} _{n} ( n , 2 )An(n,2), Bn(2n,1)\mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{n}}} ( 2 n , 1 )Bn(2n,1) 이고, n≤x≤2nn \leq x \leq 2 nn≤x≤2n에서 2nx≤−xn+3\displaystyle \frac{2 n}{x} \leq - \frac{x}{n} + 3x2n≤−nx+3이므로 SnS _{n}Sn=∫n2n{(−xn+3)−2nx}dx\displaystyle = \int _{n} ^{2n} \left\{ \left( - \frac{x}{n} + 3 \right) - \frac{2 n}{x} \right\} dx=∫n2n{(−nx+3)−x2n}dx =[−12nx2+3x−2nln∣x∣]n2n\displaystyle = \left[ - \frac{1}{2 n} x ^{2} + 3 x - 2 n \ln \left| x \right| \right] _{n} ^{2 n}=[−2n1x2+3x−2nln∣x∣]n2n =(−2n+6n−2nln2n)−(−12n+3n−2nlnn)\displaystyle = \left( - 2 n + 6 n - 2 n \ln 2 n \right) - \left( - \frac{1}{2} n + 3 n - 2 n \ln n \right)=(−2n+6n−2nln2n)−(−21n+3n−2nlnn) =n(32−2ln2)\displaystyle = n \left( \frac{3}{2} - 2 \ln 2 \right)=n(23−2ln2) ∴ Sn+1−Sn=32−2ln2\displaystyle S _{n + 1} - S _{n} = \frac{3}{2} - 2 \ln 2Sn+1−Sn=23−2ln2태그#넓이#로그 적분비슷한 문제 더 보기미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 정적분의 활용 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음광고 영역 (해설 하단)← 전체 문제 목록으로
