두 양수의 부등식 조건에서 합 구하기

$\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab} \leq 4$에서 $a + b \leq 4 ab$, 즉 $( a + b ) ^{2} \leq 16 ( ab ) ^{2}$ $( a + b ) ^{2} = ( a - b ) ^{2} + 4 ab = 16 ( ab ) ^{3} + 4 ( ab )$$\leq 16 ( ab ) ^{2}$ $ab = t$라 두면 $16 t ^{3} + 4 t \leq 16 t ^{2}$, $4 t ^{2} + 1 \leq 4 t$, 즉 $( 2 t - 1 ) ^{2} \leq 0$ 따라서 $\displaystyle ab = t = \frac{1}{2}$, $( a + b ) ^{2} = 16 t ^{3} + 4 t = 2 + 2 = 4$, $\therefore$ $a + b = 2$ 실제로 $\displaystyle ab = \frac{1}{2}$, $a + b = 2$라고 하면 $\displaystyle x ^{2} - 2 x + \frac{1}{2} = 0$으로부터 $a$, $b$ 는 $\displaystyle 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\displaystyle 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$이고, 주어진 조건을 모두 만족시킨다.