공통수학2원의 방정식AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 원의 넓이를 모두 이등분하는 직선

문제

그림과 같이 직선 l:y=ax+bl : y = ax + b가 두 원 x2+y2−2x+4y−4=0x ^{2} + y ^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0, x2+y2+6x−8y=0x ^{2} + y ^{2} + 6 x - 8 y = 0의 넓이를 각각 이등분할 때, a+ba + b의 값은? (단, aa, bb는 상수) [3점] ①−3- 3②−2- 2③−1- 1④00⑤11

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②

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해설

원의 넓이를 이등분하는 직선은 원의 중심을 지난다. x2+y2−2x+4y−4=0x ^{2} + y ^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0에서 (x−1)2+(y+2)2=9( x - 1 ) ^{2} + ( y + 2 ) ^{2} = 9이므로 중심은 C1(1,−2)\mathrm{C} _{1} ( 1 , - 2 ) x2+y2+6x−8y=0x ^{2} + y ^{2} + 6 x - 8 y = 0에서 (x+3)2+(y−4)2=25( x + 3 ) ^{2} + ( y - 4 ) ^{2} = 25이므로 중심은 C2(−3,4)\mathrm{C} _{2} ( - 3 , 4 ) 직선 ll은 두 점 C1\mathrm{C} _{1}, C2\mathrm{C} _{2}를 지나므로 기울기는 4−(−2)−3−1=−32\displaystyle \frac{4 - ( - 2 )}{- 3 - 1} = - \frac{3}{2} y+2=−32(x−1)\displaystyle y + 2 = - \frac{3}{2} ( x - 1 ), 즉 y=−32x−12\displaystyle y = - \frac{3}{2} x - \frac{1}{2} 이므로 a=−32\displaystyle a = - \frac{3}{2}, b=−12\displaystyle b = - \frac{1}{2} (검산) x=−3x = - 3을 대입하면 y=92−12=4\displaystyle y = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4이므로 점 C2\mathrm{C} _{2}를 지난다. 따라서 a+b=−2a + b = - 2 ②

태그

#원의 방정식#원의 중심#넓이 이등분

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