두 원의 내접과 삼각형의 외접원 반지름

반지름이 $5$와 $3$인 원의 중심을 각각 $\mathrm{O}$, $\mathrm{O}'$이라 하자.

직각삼각형 $\mathrm{OAD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}$$\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{{\overline{OB}} ^{2} - {\overline{OD}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{5 ^{2} - 1 ^{2}} = 2 \sqrt{6}$ 직각삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$$\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{{\overline{BD}} ^{2} + {\overline{AD}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{( 2 \sqrt{6} ) ^{2} + 4 ^{2}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{10}$ ∴ $\displaystyle \sin ( \angle \mathrm{ABC} ) = \frac{\mathrm{\overline{AD}}}{\overline{AB}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$ 직각삼각형 $\mathrm{O}' CD$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = \sqrt{{\overline{O}' C} ^{2} - {\overline{O}' D}} = \sqrt{3 ^{2} - 1 ^{2}} = 2 \sqrt{2}$ 직각삼각형 $\mathrm{ACD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \sqrt{{\overline{CD}} ^{2} + {\overline{AD}} ^{2}} = \sqrt{( 2 \sqrt{2} ) ^{2} + 4 ^{2}} = 2 \sqrt{6}$ 구하는 외접원의 반지름을 $R$이라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle 2 R = \frac{\mathrm{\overline{AC}}}{\sin ( \mathrm{\angle} ABC )} = \frac{2 \sqrt{6}}{\frac{2}{\sqrt{10}}} = 2 \sqrt{15}$ ∴ $\displaystyle R = \sqrt{15}$