두 원의 접선 길이

[출제의도] 원의 접선의 성질과 피타고라스 정리를 이용하여 점의 좌표를 구한다. 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\mathrm{P} \mathit{(} a , 0 )$이라 하자. 직각삼각형 $\mathrm{OPQ}$에서 피타고라스 정리를 이용하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{OP}} ^{2} - \mathrm{\overline{OQ}} ^{2}$$= a ^{2} - 1$ $x ^{2} + y ^{2} - 8 x + 6 y + 21 = 0$에서 $( x - 4 ) ^{2} + ( y + 3 ) ^{2} = 2 ^{2}$ 원 $C _{2}$는 중심이 $( 4 , - 3 )$이고 반지름의 길이가 $2$인 원이므로 원 $C _{2}$의 중심을 $\mathrm{A}$라 하면 $\mathrm{A} \left( 4 , - 3 \right)$이다. 직각삼각형 $\mathrm{APR}$에서 피타고라스 정리를 이용하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AP}} ^{2} - \mathrm{\overline{AR}} ^{2}$$= \left\{ ( a - 4 ) ^{2} + ( 0 + 3 ) ^{2} \right\} - 2 ^{2}$$= a ^{2} - 8 a + 21$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{} = \mathrm{\overline{PR}} ^{}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2} = \mathrm{\overline{PR}} ^{2}$이므로 $a ^{2} - 1 =$$a ^{2} - 8 a + 21$ $8 a = 22$ ∴ $\displaystyle a = \frac{11}{4}$