두 원의 공통부분 넓이

[출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제 해결하기

원 $O _{1}$의 중심을 $\mathrm{O} _{1}$, 원 $O _{2}$의 중심을 $\mathrm{O} _{2}$, 직선 $\mathrm{O} _{1} O _{2}$가 선분 $\mathrm{AB}$와 만나는 점을 $\mathrm{M}$이라 하고, 직선 $\mathrm{O} _{1} O _{2}$가 원 $O _{1}$과 만나는 두 점 중에서 점 $\mathrm{M}$에 가까운 점을 $\mathrm{N}$이라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{1} A}} = 6$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}} = 3 \sqrt{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{1} A}} : {\overline{\mathrm{AM}}} = \sqrt{2} : 1$이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{MO} _{1} A = \frac{\pi}{4}$ 원 $O _{1}$에서 점 $\mathrm{B}$를 포함하지 않는 부채꼴 $\mathrm{O} _{1} NA$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 ^{2} \times \frac{\pi}{4} = \frac{9}{2} \pi$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $\displaystyle \angle \mathrm{MO} _{2} A = \frac{\pi}{3}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{2} A}} = 2 \sqrt{6}$ 원 $O _{2}$에서 점 $\mathrm{B}$를 포함하지 않는 부채꼴 $\mathrm{O} _{2} AC$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( 2 \sqrt{6} \right) ^{2} \times \frac{2}{3} \pi = 8 \pi$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{1} O _{2}}} = {\overline{\mathrm{O} _{1} M}} - {\overline{\mathrm{O} _{2} M}} = 3 \sqrt{2} - \sqrt{6}$이므로 삼각형 $\mathrm{AO} _{1} O _{2}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \times \left( 3 \sqrt{2} - \sqrt{6} \right) \times \sin \frac{\pi}{4}$$\displaystyle = 9 - 3 \sqrt{3}$ $\cdots \cdots \text{㉢}$ $\text{㉠}$, $\text{㉡}$, $\text{㉢}$에 의하여 $\displaystyle p + q \sqrt{3} + r \pi =$$\displaystyle 2 \times \left\{ \frac{9}{2} \pi + 8 \pi - \left( 9 - 3 \sqrt{3} \right) \right\}$ $\displaystyle = - 18 + 6 \sqrt{3} + 25 \pi$ 따라서 $p + q + r = 13$