두 원과 삼각형

[출제의도] 선분의 내분을 활용한 문제해결하기 두 점 $\mathrm{P} , R$의 좌표가 각각 $\left( - 1 , - 3 \right)$, $\left( b , b - 2 \right)$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( b + 1 \right) ^{2} + \left( b + 1 \right) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{2 \left( b + 1 \right) ^{2}}$ 원점 $\mathrm{O}$와 직선 $x - y - 2$$= 0$ 사이의 거리 $d$는 $d$$\displaystyle = \frac{\left| - 2 \right|}{\sqrt{2}}$$\displaystyle = \sqrt{2}$ 삼각형 $\mathrm{OPR}$의 넓이가 $\displaystyle 3 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \sqrt{2 \left( b + 1 \right) ^{2}} \times \sqrt{2}$$\displaystyle = \sqrt{\left( b + 1 \right) ^{2}}$$\displaystyle = 3 \sqrt{2}$ $b$$\displaystyle = 3 \sqrt{2} - 1$ 또는 $b$$\displaystyle = \mathit{-} 3 \sqrt{2} - 1$ $b > - 1$이므로 $b$$\displaystyle = 3 \sqrt{2} - 1$ 점 $\mathrm{R}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 3 \sqrt{2} - 1 , 3 \sqrt{2} - 3 \right)$ 원 $C _{1}$과 원 $C _{2}$의 넓이의 비가 $1 : 4$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} : {\overline{\mathrm{QR}}}$$= 1 : 2$ 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{PR}$를 $1 : 2$로 내분하는 점이므로 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \sqrt{2} - 1 , \sqrt{2} - 3 \right)$ $a$$\displaystyle = \sqrt{2} - 1$ 따라서 $a + b$$\displaystyle = \left( \sqrt{2} - 1 \right) + \left( 3 \sqrt{2} - 1 \right)$$\displaystyle = 4 \sqrt{2} - 2$