두 원과 할선

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 닮음도형의 성질 추론하기 ㄱ. $\mathrm{A} , B$가 $y$축 위의 점이므로 원의 방정식에 $x = 0$을 대입하면 $\mathrm{A} ( 0 , 8 )$, $\mathrm{B} ( 0 , - 8 )$ $\displaystyle \therefore \overline{\mathrm{AB}} = 16$ (참) ㄴ. $\mathrm{\angle} AQ _{2} B = \angle AQ _{1} B$이므로 $\mathrm{\angle} PQ _{2} A = \angle PQ _{1} B$, $\mathrm{\angle} Q _{1} PQ _{2}$은 공통 따라서 $\mathrm{\triangle} PAQ _{2}$󰁀$\mathrm{\triangle} PBQ _{1}$ (참) ㄷ. $\displaystyle \mathrm{\overline{PB}}$가 원 $C _{1}$의 지름이 되는 점 $\mathrm{P}$에 대하여 직선 $\mathrm{PA}$가 원 $C _{2}$와 만나는 점을 $\mathrm{Q} _{1}$이라 할 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{BQ} _{1}}$은 원 $C _{2}$의 지름이다. (∵ $\mathrm{\angle} PAB = 90 ^\circ$, 세 점 $\mathrm{P} , A , Q _{1}$은 일직선 위에 있으므로 $\angle \mathrm{Q} _{1} AB = 90 ^\circ$) 원 $C _{1}$ 위에 $\mathrm{P}$와 다른 한 점 $\mathrm{P}'$에 대하여 직선 $\mathrm{P}' A$가 원 $C _{2}$와 만나는 점을 $\mathrm{Q} _{1}'$이라 하면

$\mathrm{\angle} APB = \angle AP' B$, $\mathrm{\angle} AQ _{1} B = \angle AQ _{1}' B$이다. ($\because$동일한 호에 대한 원주각) 따라서 $\mathrm{\triangle} PBQ _{1}$󰁀$\mathrm{\triangle} P' BQ _{1}'$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} , \overline{Q _{1} B}$가 지름일 때 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ _{1}}}$이 최대가 된다. 이때 직선 $\mathrm{PQ} _{1}$의 방정식은 $y = 8$이다. 따라서 $\mathrm{P} ( - 12 , 8 )$, $\mathrm{Q} _{1} ( 30 , 8 )$이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ} _{1}} = 42$ (참)