대수삼각함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 원과 BD 최대

문제

그림과 같이 중심이 o1o _{1}이고 반지름의 길이가 r(r>3)r ( r > 3 )인 원 C1C _{1}과 중심이 O2O _{2}이고 반지름의 길이가 11인 원 C2C _{2}에 대하여 O1O2‾=2\displaystyle \overline{O _{1} O _{2}} = 2이다. 원 C1C _{1}위를 움직이는 점 AA에 대하여 직선 AO2AO _{2}가 원 C1C _{1}과 만나는 점 중 AA가 아닌 점을 BB라 하자. 원 C2C _{2}위를 움직이는 점 CC에 대하여 직선 ACAC가 원 C1C _{1}과 만나는 점 중 AA가 아닌 점을 DD라 하자. 다음은 BD‾\displaystyle \overline{BD}가 최대가 되도록 네 점 A,B,C,DA , B , C , D를 정할 때, O1C‾2\displaystyle \overline{O _{1} C} ^{2}을 rr에 관한 식으로 나타내는 과정이다.

삼각형 ADBADB에서 사인법칙에 의하여 BD‾sin⁡A=(가)\displaystyle \frac{\overline{BD}}{\sin A} = ( \text{가} ) 이므로 BD‾\displaystyle \overline{BD}가 최대이려면 직선 ADAD가 원 C2C _{2}와 점 CC에서 접해야 한다. 이때 직각삼각형 ACO2ACO _{2}에서 sin⁡A=1AO2‾\displaystyle \sin A = \frac{1}{\overline{AO _{2}}}이므로 BD‾=1AO2‾×(가)\displaystyle \overline{BD} = \frac{1}{\overline{AO _{2}}} \times ( \text{가} ) 이다. 그러므로 직선 ADAD가 원 C2C _{2}와 점 CC에서 접하고 AO2‾\displaystyle \overline{AO _{2}}가 최소일 때, BD‾\displaystyle \overline{BD}는 최대이다. AO2‾\displaystyle \overline{AO _{2}}의 최솟값은 (나)( \text{나} )이므로 BD‾\displaystyle \overline{BD}가 최대일 때, O1C‾2=(다)\displaystyle \overline{O _{1} C} ^{2} = ( \text{다} ) 이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(r),g(r),h(r)f ( r ) , g ( r ) , h ( r )라 할 때, f(4)×g(5)×h(6)f ( 4 ) \times g ( 5 ) \times h ( 6 )의 값은? [4점] ①216216②192192③168168④144144⑤120120

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④

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해설

삼각형 ADB\mathrm{ADB}에서 사인법칙에 의하여 BD‾sin⁡A=□2r\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{BD}}}{\sin A} = {\square {2 r}} 이므로 BD‾\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}가 최대이려면 직선 AD\mathrm{AD}가 원 C2C _{2}와 점 C\mathrm{C}에서 접해야 한다. 이때 직각삼각형 ACO2\mathrm{ACO} _{2}에서 sin⁡A=1AO2‾\displaystyle \sin A = \frac{1}{\mathrm{\overline{AO _{2}}}}이므로 BD‾=1AO2‾×□2r\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = \frac{1}{{\overline{AO _{2}}}} \times {\square {2 \mathit{r}}} 이다. 그러므로 직선 AD\mathrm{AD}가 원 C2C _{2}와 점 C\mathrm{C}에서 접하고 AO2‾\displaystyle \mathrm{\overline{AO _{2}}}가 최소일 때 BD‾\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}는 최대이다. AO2‾\displaystyle \mathrm{\overline{AO _{2}}}가 최소일 때는 두 원의 중심 O1\mathrm{O} _{1}, O2\mathrm{O} _{2}와 점 A\mathrm{A}가 일직선 위에 있을 때이므로 AO2‾\displaystyle \mathrm{\overline{AO _{2}}}의 최솟값은 AO1‾−O1O2‾=□r−2\displaystyle \mathrm{\overline{AO _{1}}} - \overline{O _{1} O _{2}} = {\square {\mathit{r} - 2}}

AO2‾\displaystyle \mathrm{\overline{AO _{2}}}가 최소일 때, sin⁡A=1r−2\displaystyle \sin A = \frac{1}{r - 2}이므로 삼각형 CO1O2\mathrm{CO} _{1} O _{2}에서 코사인법칙에 의하여 O1C‾2\displaystyle \mathrm{\overline{O _{1} C}} ^{2}=12+22−2⋅1⋅2cos⁡(π2+A)\displaystyle = 1 ^{2} + 2 ^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cos \left( \frac{\pi}{2} + A \right)=5+4sin⁡A= 5 + 4 \sin A =□5+4r−2\displaystyle = \square {5 + \frac{4}{r - 2}} 이상에서 f(r)=2rf \left( r \right) = 2 r, g(r)=r−2g \left( r \right) = r - 2, h(r)=5+4r−2\displaystyle h \left( r \right) = 5 + \frac{4}{r - 2}이므로 f(4)×g(5)×h(6)=8×3×6=144f \left( 4 \right) \times g \left( 5 \right) \times h \left( 6 \right) = 8 \times 3 \times 6 = 144

태그

#사인법칙#코사인법칙#빈칸 채우기

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