공통수학2원의 방정식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 원에 그은 접선의 길이가 같은 점

문제

그림과 같이 좌표평면에 두 원 C1:x2+y2−4x−6y+9=0C _{1} : x ^{2} + y ^{2} - 4 x - 6 y + 9 = 0 C2:x2+y2−8x+10y+25=0C _{2} : x ^{2} + y ^{2} - 8 x + 10 y + 25 = 0 과 xx 축 위의 점 P\mathrm{P} 가 있다. 점 P\mathrm{P} 에서 두 원 C1C _{1}, C2C _{2} 에 그은 접선의 길이가 서로 같을 때, 그 접선의 길이를 구하시오. [4점]

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해설

두 원의 방정식을 각각 변형하면 C1:(x−2)2+(y−3)2=4C _{1} : \left( x - 2 \right) ^{2} + \left( y - 3 \right) ^{2} = 4 C2:(x−4)2+(y+5)2=16C _{2} : \left( x - 4 \right) ^{2} + \left( y + 5 \right) ^{2} = 16 이므로 두 원의 중심은 각각 (2,3)( 2 , 3 ), (4,−5)( 4 , - 5 ) 이고 반지름의 길이는 각각 22, 44 이다. P(p,0)\mathrm{P} ( p , 0 ) 이라 하면 두 접선의 길이의 제곱은 각각 (p−2)2+9−4=p2−4p+9( p - 2 ) ^{2} + 9 - 4 = p ^{2} - 4 p + 9 (p−4)2+25−16=p2−8p+25( p - 4 ) ^{2} + 25 - 16 = p ^{2} - 8 p + 25 두 접선의 길이가 같으므로 p2−4p+9=p2−8p+25p ^{2} - 4 p + 9 = p ^{2} - 8 p + 25 4p=164 p = 16 에서 p=4p = 4 따라서 접선의 길이는 42−4×4+9=9=3\displaystyle \sqrt{4 ^{2} - 4 \times 4 + 9} = \sqrt{9} = 3

태그

#원의 접선#접선의 길이#두 원

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