두 원 위의 점을 잇는 선분의 중점

실마리: 점 $\mathrm{Q}$를 한 자리에 세워 두고 점 $\mathrm{P}$만 먼저 움직여 본다. 두 원의 중심을 각각 $\mathrm{A} ( 3 , 0 )$, $\mathrm{B} ( 0 , 4 )$라 하면 반지름의 길이는 각각 $1$, $2$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 5$ ㄱ. 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$에 두 반지름의 길이를 더한 값이 가장 크므로 최댓값은 $5 + 1 + 2 = 8$이다. (참) ㄴ. 점 $\mathrm{Q}$를 고정하면 점 $\mathrm{P}$가 원 $C _{1}$ 위를 돌 때 중점 $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{AQ}$의 중점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 원을 그린다. 이제 점 $\mathrm{Q}$가 원 $C _{2}$ 위를 돌면 선분 $\mathrm{AQ}$의 중점은 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\displaystyle \mathrm{N} \left( \frac{3}{2} , 2 \right)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 원을 그린다. 따라서 점 $\mathrm{M}$은 점 $\mathrm{N}$에서의 거리가 $\displaystyle 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 이상 $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ 이하인 점 전체가 되고, 그 넓이는 $\displaystyle \pi \times \left( \frac{3}{2} \right) ^{2} - \pi \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} = \frac{9}{4} \pi - \frac{1}{4} \pi = 2 \pi$이다. (참) ㄷ. $\displaystyle \overline{\mathrm{ON}} = \sqrt{\left( \frac{3}{2} \right) ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{5}{2}$이고 이는 $\displaystyle \frac{3}{2}$보다 크므로 원점은 이 도형의 바깥에 있다. 따라서 거리의 최솟값은 $\displaystyle \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = 1$이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③