미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 원 삼각형 넓이 극한

문제

그림과 같이 선분 BC\mathrm{BC}를 빗변으로 하고, BC‾=8\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 8인 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 점 B\mathrm{B}를 중심으로 하고 반지름의 길이가 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}인 원이 선분 BC\mathrm{BC}와 만나는 점을 D\mathrm{D}, 점 C\mathrm{C}를 중심으로 하고 반지름의 길이가 AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}인 원이 선분 BC\mathrm{BC}와 만나는 점을 E\mathrm{E}라 하자. ∠ACB=θ\mathrm{\angle} ACB = \mathit{\theta}라 할 때, 삼각형 AED\mathrm{AED}의 넓이를 S(θ)S ( \theta )라 하자. lim⁡θ→0+S(θ)θ2\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S ( \theta )}{\theta ^{2}}}의 값은? [4점]

①1616②2020③2424④2828⑤3232

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⑤

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해설

직각삼각형의 삼각비에서

AB‾=BD‾=8sin⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{BD} = 8 \sin \theta, AC‾=CE‾=8cos⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \overline{CE} = 8 \cos \theta ED‾=BD‾+CE‾−8\displaystyle \mathrm{\overline{ED}} = \overline{BD} + \overline{CE} - 8=8(sin⁡θ+cos⁡θ−1)= 8 ( \sin \theta + \cos \theta - 1 ) 그리고 삼각형의 높이는 h=8sin⁡θcos⁡θh = 8 \sin \theta \cos \theta 이다. 따라서 S(θ)=12×ED‾×h\displaystyle S ( \theta ) = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{ED}} \times \mathit{h}=32sin⁡θcos⁡θ(sin⁡θ+cos⁡θ−1)= 32 \sin \theta \cos \theta ( \sin \theta + \cos \theta - 1 ) S(θ)θ2=32×sin⁡θθ×cos⁡θ×(sin⁡θθ+cos⁡θ−1θ)\displaystyle \frac{S ( \theta )}{\theta ^{2}} = 32 \times \frac{\sin \theta}{\theta} \times \cos \theta \times \left( \frac{\sin \theta}{\theta} + \frac{\cos \theta - 1}{\theta} \right) 여기서 lim⁡θ→0sin⁡θθ=1\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1, lim⁡θ→0cos⁡θ−1θ=0\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} \frac{\cos \theta - 1}{\theta} = 0, lim⁡θ→0cos⁡θ=1\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} \cos \theta = 1 이므로 lim⁡θ→0S(θ)θ2=\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} \frac{S ( \theta )}{\theta ^{2}} =3232

태그

#삼각함수의 극한#도형

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