두 원 외접 구 반지름

[출제의도] 공간에서 직선, 평면, 구 사이의 관계를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다. 좌표공간 위의 세 점 $\mathrm{P} ( 3 , 0 , 0 ) , Q ( 0 , 3 , 0 ) , R ( 0 , 0 , 3 )$을 포함하는 평면 $\alpha$의 방정식은 $x + y + z = 3$ 이다. 또한, $\triangle \mathrm{PQR}$의 외접원 $\mathrm{C} _{1}$은 중심이 $( 1 , 1 , 1 )$이고 반지름이 $\displaystyle \sqrt{6}$인 원이다. 그리고, 구 $S$의 방정식은 $( x - 6 ) ^{2} + ( y + 3 ) ^{2} + ( z + 3 ) ^{2} = 1$이고, 평면 $\alpha$와 구 $S$가 만나서 생기는 원 $\mathrm{C} _{2}$의 중심은 구의 중심 $( 6 , - 3 , - 3 )$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선 $x - 6 = y + 3 = z + 3$이 평면 $\alpha$와 만나는 점이므로 연립방정식 $\displaystyle \begin{cases} x - 6 = y + 3 = z + 3 \\ x + y + z = 3 \end{cases}$ 의 해 $( 7 , - 2 , - 2 )$가 된다. 또한, 구의 중심, 원 $\mathrm{C} _{2}$의 중심, 접점을 연결하여 얻은 삼각형이 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 원 $\mathrm{C} _{2}$의 반지름은 $\displaystyle \sqrt{r ^{2} - 3}$이 된다. 한편, 두 원 $\mathrm{C} _{1} , C _{2}$는 외접하므로 반지름의 합과 중심거리가 같게 된다. 즉, $\displaystyle \sqrt{r ^{2} - 3} + \sqrt{6} = 3 \sqrt{6}$ 따라서, $r ^{2} = 27$